MBA指导数学重点习题

1、 设１０件产品中有４件不合格品，从中任取两件，已知取出的两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。（０.２） 
    【思路】在”已知取出的两件中有一件不合格品”的情况下，另一件有两种情况(1)是不合格品,即一件为合格品,一件为不合格品(2)为合格品,即两件都是合格品.对于(1),C(1,4)*(1,6)/C(2,10)=8/15;对于(2),C(2,4)/C(2,10)=2/15.提问实际上是求在这两种情况下,(1)的概率,则(2/15)/(8/15+2/15)=1/5 
 
2、 设A是3阶矩阵，b1,b2,b3是线性无关的3维向量组，已知Ab1=b1+b2, Ab2=-b1+2b2-b3, Ab3=b2-3b3, 求 |A| （答案：|A|=-8） 
【思路】A= （等式两边求行列式的值,因为b1,b2,b3线性无关,所以其行列式的值不为零,等式两边正好约去,得-8） 
3、 某人自称能预见未来，作为对他的考验，将1枚硬币抛10次，每一次让他事先 
预言结果，10次中他说对7次 ，如果实际上他并不能预见未来，只是随便猜测， 则他作出这样好的答案的概率是多少？答案为11/64。 
    【思路】原题说他是好的答案,即包括了7次,8次,9次,10次的概率. 即 C(7 10)0.5^7x0.5^3+......C(10 10)0.5^10, 即为11/64. 
4、 成等比数列三个数的和为正常数K,求这三个数乘积的最小值 
    【思路】a/q+a+a*q=k(k为正整数) 
由此求得a=k/(1/q+1+q) 
所求式=a^3,求最小值可见简化为求a的最小值. 
对a求导,的驻点为q=+1,q=-1. 
其中q=-1时a取极小值-k,从而有所求最小值为a=-k^3.(mba不要求证明最值) 
5、 掷五枚硬币，已知至少出现两个正面，则正面恰好出现三个的概率。 
【思路】可以有两种方法： 
1.用古典概型 样本点数为C（3，5），样本总数为C（2，5）C（3，5）C（4，5）C（5，5）（也就是说正面朝上为2，3，4，5个），相除就可以了； 
2.用条件概率 在至少出现2个正面的前提下，正好三个的概率。至少2个正面向上的概率为13/16，P（AB）的概率为5/16，得5/13 
假设事件A：至少出现两个正面；B：恰好出现三个正面。 
A和B满足贝努力独立试验概型，出现正面的概率p=1/2 
1、 已知f(xy)=f(x)+f(y)且f’(1)=a,x≠0，求f’(x)=? (答案为a/x) 
【思路1】原方程两边对Y进行求偏导 
xf’(xy)=f’(y) 其中f’(xy)与f’(y)都是对y偏导数  
xf’(x*1)=f’(1)=a      得 f’(x)=a/x 
【思路2】当⊿x→0时，令x+⊿x=xz则z=(1+⊿x/x) 
由f’(x)=[f(x+⊿x )-f(x)]/ ⊿x 
 
={f[x(1+⊿x/x)]-f(x)}/⊿x 
=[f(x)+f(1+⊿x/x)-f(x)]/⊿x 
=f(1+⊿x/x)/⊿x    =f’(1)/x=a/x 
2、 已知函数f(x+y,x-y)=x2-y2, 则f对x的偏导数加f对y的偏导数等于? (a)2x-2y (b)x+y 
【思路1】设U=x+y,v=x-y 
f(u,v)=uv 
f’x=f’u*u’x+f’v*v’x=v*1+u*1=u+v 
f’y=f’u*u’y+f’v*v’y=v-u 
f’x+f’y=u+v+v-u=2v=2(x-y)=2x-2y   选A 
【思路2】由已知f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y), 
令u=x+y, v=x-y, 则f(u,v)=uv,于是f(x,y)=xy,故答案为(b). 
结论：b应该是对的，复合函数是相对与自变量而言的，自变量与字母形式无关，参见陈文灯的考研书。 
3、 已知方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实根分别在区间（0，1）和（1，2）内，则k的取值范围是什么？答案为（-2，-1）U（3，4） 
【思路】画图可得f(0)>0,f(1)<0，f(2)>0代入计算即可 
4、 A,B是一次随机实验的两个事件，则———— 
A. A-(B-A)=A-B      B. A-(B-A)=A 
【思路】b,利用定义可得 
5、 已知随机变量X的密度的函数是： 
f(x)=  
其中m>0，A为常数，则概率P{m0)的值一定是：____ 
A、与a无关，随着m的增大而增大 
B、与m无关，随着a的增大而增大 
C、与a无关，随着m的增大而减少 
D、与m无关，随着a的增大而减少 
【思路】P{m0)= dx=Ae-m=1           A=em 
P{m=  =Ae-m [1-e-a]= 1-e-a       a>0     答案为B转
1、 国家羽毛球队的3名男队员和3名女队员，要组成3个队，参加世界杯的混合双打比赛，则不同的组队方案为？ 
    【思路1】c(3,1)*c(3,1)*c(2,1)c(2,1)=36 
已经是看成了三个不同的队。 
若三个队无区别，再除以3！，既等于6。 
【思路2】只要将3个GG看成是3个箩筐,而将3个MM看成是3个臭鸡蛋,每个箩筐放1个,不同的放法当然就是3!=6 
(把任意三个固定不动，另外三个做全排列就可以了) 
 
2、 假定在国际市场上对我国某种出口商品需求量X（吨）服从（2000，4000）的均匀分布。假设每出售一吨国家可挣3万元，但若卖不出去而囤积于仓库每吨损失一万元，问国家应组织多少货源使受益最大？ 
【思路】设需应组织a吨货源使受益最大  
4000≥X≥a≥2000时，收益函数f(x)=3a, 
2000≤X＜a≤4000时，收益函数f(x)=4X-a, 
X的分布率： 
2000≤x≤4000时，P（x）= ， 
其他， P（x）=0 
E（X）=∫（-∞，+∞）f(x)P(x)dx= 
 ［  + ］ 
= ［-(a-3500) 2+8250000］ 
即a=3500时收益最大。最大收益为8250万。 
3、 将7个白球，3个红球随机均分给5个人，则3个红球被不同人得到的概率是（ ） 
（A）1/4 （B）1/3 （C）2/3 （D）3/4 
【思路】注意“均分”二字，按不全相异排列解决 
分子=C（5，3）*3！*7！/2！2！ 
分母=10！/2！2！2！2！2！ 
P= 2/3 
4、 一列客车和一列货车在平行的铁轨上同向匀速行驶。客车长200 m，货车长280 m，货车速度是客车速度的3/5，后出发的客车超越货车的错车时间是1分钟，那么两车相向而行时错车时间将缩短为（ ）（奇迹300分，56页第10题）  
 A、1/2分钟 B、16/65分钟 C、1/8分钟 D、2/5分钟     
【思路】书上答案是B，好多人说是错的，应该是1/4，还有一种观点如下： 
用相对距离算， 
设同向时的错车距离为s，设客车速度为v， 
则货车速度为3v/5同向时相对速度为2v/5， 
则1分钟=s/(2v/5)，得v=5s/2因为200相向时相对速度是8 v/5， 
相对距离为480 
此时错车时间=480/（8v/5）=120/s 
因而结果应该是 [1/4，3/5 )之间的一个值， 
答案中只有D合适         
（注：目前关于此题的讨论并未有太令人满意的结果！） 
5、 一条铁路有m个车站，现增加了n个，此时的车票种类增加了58种，（甲到乙和乙到甲为两种），原有多少车站？（答案是14） 
【思路1】设增加后的车站数为T，增加车站数为N 
则：T（T-1）-（T-N）（T-1-N）=58 
解得：N2+（1-2T）N+58=0 （1） 
由于（1）只能有整数解，因此N1=2 T1=16；N2=29 T2=16（不符合，舍去） 
所以原有车站数量为T-N=16-2=14。 
【思路2】原有车票种数=P（m，2），增加n个车站后，共有车票种数P（m+n，2），增加的车票种数=n（n+2m-1）=58=1*58=2*29，因为n1，所以只能n=2，这样可求出m=14
1、 某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1人参加的选法共有多少种？(462) 
【思路1】剩下的5个分配到5个班级.c(5,7) 
剩下的5个分配到4个班级.c(1,7)*c(3,6) 
剩下的5个分配到3个班级.c(1,7)*c(2,6)+c(2,7)*c(1,5) 
剩下的5个分配到2个班级.c(1,7)*c(1,6)+c(1,7)*c(1,6) 
剩下的5个分配到1个班级.c(1,7) 
 
所以c(5,7)+c(1,7)*c(3,6)+c(1,7)*c(2,6)+c(2,7)*c(1,5)+c(1,7)*c(1,6)+c(1,7)*c(1,6)+c(1,7)=462 
【思路2】C(6,11)=462 
2、 在10个信箱中已有5个有信，甲、乙、丙三人各拿一封信，依次随便投入一信箱。求： 
（1）甲、乙两人都投入空信箱的概率。 
（2）丙投入空信箱的概率。 
【思路】（1）A=甲投入空信箱，B=乙投入空信箱， 
P(AB)=C(1,5)*C(1,4)/(10*10)=1/5 
（2）C=丙投入空信箱， 
P(C)=P(C*AB)+P(C*  B)+P(C*A )+P(C*  ) 
=(5*4*3+5*5*4+5*6*4+5*5*5)/1000=0.385 
3、 设A是3阶矩阵，b1=(1,2,2)的转置阵，b2=(2,-2,1)的转置阵,b3=(-2,-1,2)的转置阵,满足Ab1=b1,Ab2=2b2,Ab3=3b3,求A.  
【思路】可化简为A(b1,b2,b3)=  (b1,b2,b3) 
求得A=  
4、 已知P（A）=X,P(B)=2X,P(C)=3X且P(AB)=P(BC),求X的最大值.  
【思路】P(BC)=P(AB)=P(A)=X 
P(BC)=P(AB)小于等于P(A)=X 
P(B+C)=P(B)+P(C)-P(BC)大于等于4X 
又因为P(B+C)小于等于1 
4X小于等于1     ，X小于等于1/4  
所以X最大为1/4 
5、 在1至2000中随机取一个整数，求 
（1）取到的整数不能被6和8整除的概率 
（2）取到的整数不能被6或8整除的概率  
【思路】设A=被6整除，B=被8整除; 
P(B)=[2000/8]/2000=1/8=0.125；  
P(A)=[2000/6]/2000=333/2000=0.1665；[2000/x]代表2000/x的整数部分； 
(1)求1-P(AB);AB为A 、B的最小公倍数； 
P(AB)=[2000/24]/2000=83/2000=0.0415；答案为1-0.0415=0.9585 
(2)求1-P(A+B);P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.25;答案为1-0.25=0.75.
P(A)=1-(1/2)^5-(C5|1)*(1/2)*(1/2)^4=13/16 
A包含B，P(AB)=P(B)=(C5|3)*(1/2)^3*(1/2)^2=5/16 
所以：P(B|A)=P(AB)/P(A)=5/13。