工程硕士入学考试扈志明数学讲义(几何)

第三部分 几何 

第三部分 几何（与三角） 
 
[考试要求] 
三角形、四边形、圆形以及（正）多变形等平面几何图形的角度、周长、面积等计算和运用； 
长方体、正方体以及圆柱体等各种规范立体图形的表面积和体积的计算和运用； 
三角学；以及（平面）解析几何方面的知识。 
[样题] 
1．一张（圆形）饼平铺，若切三刀，最多切成几块？[ ] 
(A) (B) (C) (D)8 567
2.如图，弦长，则它们所对的圆周角哪个大？[ ] ba>
(A)α (B)β (C)一样大 (D)无法确定 
3．如图，一个长为l的梯子AB，A端只能在竖直墙面上滑动，B端只能在地面上滑动，则梯子与墙面和地面所围成的面积最大时，α角应为多大？ 
(A) (B) (C) (D) 。30。45。60。75
4．如图，举行与椭圆12222=+byax相切，则椭圆面积与矩形面积之比和4π相比较谁大？[ ] 
(A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定 
5．一个三角形的边长分别为4，则此三角形的面积为[ ] 7,5,
(A)63 (B)64 (C)34 (D)33 
6．直线1−=xy与圆的位置关系为[ ] 3)3()1(22=−+−yx
(A)相切 (B)相交 (C)相离 (D)无法确定 
7．两个相似三角形的相似比为1，则它们的面积比应为[ ] 2:
(A)1 (B)1 (C)1 (D)无法确定 2:3:4:
8．已知三角形OPQ的三个顶点的坐标分别为)2,1(),5,3(),0,0(−QPO，则其周长是[ ]  
3．圆和扇形 
(A)5+11 (B)513++34 
(C)5534++ (D)534++53 
[内容综述] 
一、平面几何图形 
1．三角形 
（1）三角形的各元素（边、角、高、周长、面积） 
（2）三角形个元素的计算公式 
（3）几种特殊三角形（直角、等腰、等边） 
2．四边形 
（1）矩形（正方形） 
（2）平行四边形（菱形） 
（3）梯形 
（1）圆(周长、面积、圆周角、圆心角) 
（2）扇形 
4．平面图形的形似关系 
二、空间几何图形 
1．长方体（正方体） 
2．圆柱体 
3．圆锥体 
4．球 
三、三角函数 
1．定义（符号，特殊角的三角函数值） 
2．三角函数的图像和性质（微积分） 
3．常用的三角函数恒等式 
4．正弦定理和余弦定理 
5反三角函数 
6．简单三角方程 
四、平面向量 
1．向量的内积 
2．两向量垂直和平行的充要条件 
五、平面直线 
1．直线方程（点斜式，斜截式、一般式） 
2．两条直线的位置关系（相交，平行，垂直，夹角） 
3．点到直线的距离 
六、圆锥曲线 
 
1． 圆 

2．椭圆 
（1）定义 
（2）方程 
（3）图像 
（4）离心率 
（5）准线 
3．双曲线 
（1）定义 
（2）方程 
（3）图像 
（4）离心率 
（5）渐近线 
（6）准线 
4．抛物线 
（1）定义 
（2）方程 
（3）图像 
（4）离心率 
（5）准线 
[典型例题] 
1．已知}sintan{},]2,0[,cossin{xxxBxxxxA<=∈>=π，求BAΙ。}2ππ<<xx{ 
（例9．1．4） 
2．求12cos,12ππsin的值。（例9．2．1） 
3．设a，0,022≠≠+ω　bxbxaxfωωcossin)(+=，求 
（1）的最大值； )(xf
（2）时的0)(=xfx值。（例9．2．3） 
4．设三角形的三条边分别为a，面积为，已知cb,,S35,5,4===Sba，求。 c
(例9．3．2，) 61cos2222=−+=Cabbac
5．求)54arccos2sin(的值。2524（例9．4．1（3）） 
6．求满足下列条件的直线的单位方向向量、倾斜角及直线方程。 
（1）过两点；)0,3(),1,4(BA−)3(71,71arctan−−=−=xyπα(） 
（2）过点，且倾斜角是直线)3,2(−A032=−−xy的两倍。（01734,34=−−yxarctan）  

（例10．2．1） 
7．已知直线0143:=−+yxl，042:1=−+yxl，求 
（1）l上点关于l的对称点；1)0,2(A)58,54(− 
（2）l关于l对称的直线的方程。12l016112=++yx（例10．2．3） 
8．过椭圆141622=+yx042=−+yx内部的点作椭圆的一条弦，使)1,2(PP为弦的中点，求弦所在的直线方程。（例10．7．1） 
9．双曲线)0,0(12222>>=−babyaxF的右准线与两条渐近线交于两点，若以为直径的圆经过右焦点，求该椭圆的离心率。BA,AB2==ace（例10．8．9） 
10．已知是抛物线的两条互相垂直的弦，O是圆点，求弦中点的轨迹方程。（例10．7．3） OBOA,y)0(22>=ppxy)2p−AB(2xp=
{模拟练习} 
书上典型例题与模拟试题 
1．极坐标系中，点)2,2π(关于直线1cos=θρ对称点的坐标为[ A ] 
(A))4,22(π (B))4,2(π (C) (D) )0,0()0,2(
2．椭圆114416922=+yx的准线方程为[C ] 
(A)5169±=y (B)1325±=y 
(C)5169±=x (D)1325±=x 
3．若不论为何值，直线kbxky+−=)2(与双曲线总有公共点，则的取值范围是[ B ] 122=−yxb
(A))3,3(− (B)]3,−3[ 
(C（ (D)[ ) ），22−]22，−
4．若点在曲线上，则使取的最大值的点),(yxP+−=+=θθsin54,cos53yx22yx+P的坐标是[A ] 
 
 (A) (B) (C))8,6(−)8,6(−)4,3(− (D))4,3(− 
5．若直线01243=+−yx与两坐标轴的交点为，则以线段位直径的圆的方程是[ A ] BA,AB
(A) (B) +x 03422=−++yxyx03422=−−yxy
(C) (D) +x 043422=−−++yxyx083422=+−−yxy
6．已知是椭圆21,FF)20(14222<<=+bbyx的两个焦点，点B是短轴的一个端点，则的面积的最大值为[ B ] 21BFFΔ
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 
7．圆锥与圆柱的地面半径都是r，高都是。已知它们的侧面积相等，则h=hr13。 
8．双曲线116922=−yx的一个焦点到一条渐近线的距离等于[ D ] 
(A)3 (B)2 (C)3 (D)4 
9．过原点且与圆截得的弦长为0222=−+xyx3的一条直线方程是[ D ] 
(A)xy= (B)x3y= 
(C)xy−= (D)x33−y= 
10．在中，sinABCΔ4:2:3sin:sin:=CBA，则的值为[ A ] Ccos
(A)41− (B)41 (C)32− (D)32 
11．两圆θρsin=与1=ρ的位置关系是[ B ] 
(A)相交 (B)内切 (C)外切 (D)内