工程硕士入学考试扈志明数学讲义（一）

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扈志明数学讲义  工程硕士入学考试中的常见问题 

求函数表达式。 
（1）已知, 求的表达式。 1)1(2+=+xxf)(xf 
（2）已知>≤−=>≤=.2,2,2,4)(,1,0,1,1)(2xxxxfxxxg 求。 ))((xgf 
（3）求。 ,,(cossin)(）是不同时为零的常数baxbxaefx+=′)(xf 
（4）设，求Cxdxxxf+=∫arctan)(∫dxxf)(1。 
（5）已知，求。 ∫+=10)(21)(dttfxf)(xf
研究函数的奇偶性。 
（1）)(21)(xxeexf−−=。 
（2）)1ln()(2xxxf++=。 
（3）研究函数∫++=xdtttxf02)1ln()(的奇偶性。 
研究函数在一点的极限存在性、连续性、可导性、导函数的连续性。 
求极限+++→xxeexxxsin12lim410。 
（2）指出函数)1()1()(2−−=xxxxxf的间断点及其类型。 
（3）0,1,0,1,11)(1>=≠−=−xxxexfxx。 
（4）已知函数1lim)(2212+++=−∞→nnnxbxaxxxf在),(+∞−∞上连续，求的值。 ba, 
（5）讨论函数=≠−−=10111sin)1()(2xxxxxf在1=x处的连续性、可导性。 
 
（6）设≤+>=001sin)(2xbaxxxxxf在0=x可导，则满足[ ] ba, 
（A）。 （B）0,0==ba1,1==ba。 
（C）。 （D）0,=ba为任意常数1,=ba为任意常数。 
无穷小的比较。 
若0)tan(1limcos10≠=−−→axekxxπ，求与a的值。 k
已知，则当时，下列函数中与是等价无穷小的是[ ] ∫+=20)1ln()(xdttxf0→x)(xf 
A 。 B 。 C 2x3x24x。 D 。 4x
（3）确定的值，使ba,21)1ln(sinlim30=+−∫→xbxdtttxax。 
导数概念。 
（1）hhxfhxfh2)()(lim000−−+→。 
（2）设在点某邻域内可导，且当)(xf2=0=xxlim→ 0≠x时，已知，求极限0)(≠xf)0(,0)0(′=ff。xxfsin10))(21(−
（3）已知=≠=0,0,0,1sin)(4xxxxxf，求)0(f′′。 
（4）已知，且],[)(baCxf∈0)(,0)(<′>′bfaf，证明：存在),(ba∈ξ，使得 
]),[()()(baxxff∈≥ξ。 
求简单复合函数、简单隐函数、简单参数方程确定的函数的导数和微分。 
（1）。 )ln(arctanxy= 
（2）已知函数由e确定，求曲线)(xyy=0=+−−xyexy)(xyy=在出的切线0=x 
 

9．研究函数的凹凸性、求函数的拐点。 
方程与法线方程。 
不定式极限。 
（1）求极限值， 
设，求∫=xtdtexf02)(hhxfhxfh)()(lim0−−+→。 
（2）求待定参数值。 
研究函数单调性、求函数的极值。 
（1）单调性、极值问题， 
求函数212xxy+=的单调区间和极值点。 
（2）最值问题， 
（3）证明不等式问题， 
24)1arctan(222xxxxx<−+<++π， 
， )(baebaab<<> 
。 )31(1lnln)3(ln1222exxx≤≤≤−≤− 
（4）证明等式问题， 
设函数在[上可导、单增，)(xf],0a0)0(=f，证明 
)()()()(010aafdyyfdxxfafa=+∫∫−。 
（5）研究方程根的问题。 
讨论方程实根的情况。 033=+−Axx
（1）当为何值时，点(可能为的拐点，此时函数的凹凸性如何？ ba,)3,123bxaxy+=
（2）设函数在[上二阶连续可导，且)(xf(f]1,1−)0)0(=′f，1)(cos1lim0=′′−→xfxxx，试判断是否为的极值点？是否为的拐点？ 0=xx)(xf
10．不定积分（凑法、分部积分法）。 
 
dxexxx∫+)cos(sin∫++−+dxxx1111，∫+dxxx231，∫+−dxexxln23dxx)∫sin(ln，∫+dxxxx)1(arctan，∫+xedx1，，∫+241xxdx，∫xln(ln，dxx)，∫dxeexxarctan 
11．定积分求值。 
（1）定积分性质，（2）分段函数，（3）绝对值函数，（4）带有根号的函数， 
（5）已知一个积分值，求另一个积分值， 
已知∫，求1)(10=dxxfdxxxf∫2022sin)(cosπ的值。 
已知dtteAt∫+=101，求dttet∫+102)1(。 
已知，求。 ∫−=221)(xtdtexf∫10)(dxxxf 
（6）已知一个积分方程，求一个积分值。 
已知，求，。 ∫+=102)()(dxxfexxfx∫10)(dxxf)(xf
12．变限定积分函数。 
（1）求导数， 
已知函数由方程确定，求)(xyy=0cos1sin022=+∫∫dttdteyxtdxdy。 
∫=xdtxtfxF0)()(，求。 )(xF′ 
求极限 xdtextxcos1)1(lim002−−∫→。 
（2）研究奇偶性、单调性， 
13．定积分的几何应用（面积与旋转体的体积）。 
（1）切线、法线，（2）最大、最小面积。 
（1）求由及在0,0,===xyeyxxey=1=x处的法线所围图形的面积及此图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。 
（2）求曲线段)62(,ln≤≤=xxy的一条切线，使该切线与直线及此曲线段所围平面图形的面积最小。 6,2==xx 
 
14．行列式求值。 
15．矩阵运算。 
（1）已知XABBXA+=+，，求−=−=100000001,101020201BA9999,XX。 
（2）已知nnRA×∈，0,<=AIAAT，求IA+。 
（3）已知3,2,,−==∈×BARBAnn，求1*2−BA。 
16．求逆矩阵。 
（1）公式，（2）初等变换， 
（3）定义，已知，证明0222=+−IAAIA+可逆，并求(。 1)−+IA 
（4）性质，已知都可逆，证明BABA+,,11−−+BA也可逆，并求。 111)(−−−+BA
17．向量组线性相关、线性无关的概念。 
18．矩阵的秩、向量组的秩。 
19．求向量组的秩与极大线性无关组。 
（1）已知321,,ααα线性相关，432,,ααα线性无关，证明： 
1）1α可由32,αα线性表出； 
2）4α不能由321,,ααα线性表出。 
（2）已知，当如何取值时，−=71534321101111abAba,3)(=Ar。 
20．线性代数方程组。 
（1）设321,,ξξξ13,ξξ++是齐次线性方程组0=AX0=AX的一个基础解系，试证明 321212,ξξξξξ+−也是齐次线性方程组的一个基础解系。 
（2）已知方程组 有无穷多个解，求的值, 并求方程组的通解。 −=+−=++−=++4243212321321xxxaxaxxaxxxa 
（3）设为阶方阵，AmB为mn×矩阵，mBr=)(，BBA=，证明为单位阵。 A 
 
21．特征值与特征向量问题