工程硕士入学考试扈志明数学讲义(二）

2003年工程硕士网上辅导 扈志明数学讲义 
第二部分 
代数
代数式和不等式的变换和计算。 
包括：实数和复数；乘方和开方；代数表达式和因式分解；方程的解法；不等式；数学归纳法，数列；二项式定理，排列，组合等。 
[样题] 
1．))3(arccos(sinπ−的值为[ ] 
(A)π32 (B)π61− (C)π65 (D) 61π 
2．5棵大小不同的柳树，6棵大小不同的杨树，栽到5个坑内，一坑一棵，5个坑内至多栽2棵柳树，5个坑都栽了，有[ ]种栽法。 
(A) (B) (C)81 (D) 281200275
3．求阶乘不超过的最大整数[ ] 200
(A) (B) (C) (D) 3456
4．设函数1)(−=xxxf，1,0≠≠xx，则=))(1(xff[ ] 
(A)x−1 (B)x1−1 (C)1−xx (D)1−x 
5．设03≤≤x，则函数的最大值为[ ] 2)2(2−−=xy
(A) (B) (C)2 (D) 2−1−3
6．当 )2,0(π∈x时，确定xxtansin与1的大小关系[ ] 
(A)前者大 (B)后者大 (C)一样大 (D)无法确定 
7．在连乘式)5)(4)(3)(2)(1(+++++xxxxx展开式中，4x前面的系数为[ ] 
(A)13 (B)14 (C)15 (D)16 
6．袋中有3个黄球，2个红球，1个篮球，每次取一个球，取出后不放回，任取两次，取得 
 
（3）幂、指、对函数（含义、性质、常用公式） 
红球的概率是[ ] 
(A)151 (B)3011 (C)31 (D)32 
7．现有三张密封的奖券，其中一张有奖，共有三个人按顺序且每人只能抓走一张，问谁抓到奖的概率最大？[ ] 
(A)第一个人 (B)第二个人 (C)第三个人 (D)一样大 
8．比较 与谁大？[ ] 6.04.04.06.0
(A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定 
9．sin(的值为[ ] )1110。
(A)21 (B)21− (C)23 (D)23− 
10．函数)1ln()(2xxxf++=是[ ] 
(A)周期函数 (B)奇函数 (C)偶函数 (D)单调减少函数 
[内容综述] 
一、数和代数式 
1．实数的运算 
（1）四则运算及其运算律 
（2）乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简） 
（3）绝对值 
2．复数 
（1）基本概念（虚数单位、复数、实部、虚部、模、辅角） 
（2）基本形式（代数形式、三角形式、指数形式） 
（3）复数的运算及其几何意义 
3．代数式 
（1）几个常用公式（和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、立方差等） 
（2）简单代数式的因式分解 
二、集合、映射和函数（微积分） 
1．集合 
（1）概念（集合、空集、表示法） 
（2）包含关系（子集、真子集、相等） 
（3）运算（交集、并集、补集、全集） 
2．函数 
（1）概念（定义、两要素、图形、反函数） 
（2）简单性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性） 
三、代数方程和简单的超越方程 
 
1．一元二次方程 
（1）求根公式 
（2）根与系数的关系 
（3）二次函数的图像 
注 代数基本定理 
2．简单的指数方程和对数方程 
四、不等式 
（1）不等式的基本性质及基本不等式（算术平均数与几何平均数、绝对值不等式） 
（2）几种常见不等式的解法 
绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、简单无理不等式、指数不等式、对数不等式等 
五、数列（微积分）、（数学归纳法） 
1．数列的概念（数列、通项、前n项的和、各项的和） 
2．等差数列 
（1）概念（定义、通项、前n项的和） 
（2）简单性质 
3．等比数列 
（1）概念（定义、通项、前n项的和） 
（2）简单性质 
注 已知{是等差数列，{是等比数列，求。 }na}nbΣ=nkkkba1
六、排列、组合、二项式定理 
1．加法原理与乘法原理 
2．排列与排列数 
（1）定义 
（2）公式 
注 阶乘 
3．组合与组合数 
（1）定义 
（2）公式 
（3）基本性质 
nnkknmnmnmnmnnmnCCCCCC2,,011=+==Σ=−+− 
4．二项式定理 
注 常见问题 
七、古典概率问题 
 
1．基本概念 
样本空间、样本点、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件、和事件、积事件、 
互不相容事件、对立事件 
2．概率的概念与性质 
（1）定义（非负性、规范性、可加性） 
（2）性质 
1)(0≤≤AP，0)(=ΦP，)()()()(BAPBPAPBAPΙΥ−+= 
3．几种特殊事件发生的概率 
（1）等可能事件（古典概型）nmAP=)( 
（2）互不相容事件 
)()()(BPAPBAP+=Υ， 
对立事件 1)()(=+BPAP 
（3）相互独立事件 )()()(BPAPBAP=Ι
（4）独立重复试验 
如果在一次试验中某事件发生的概率为pn−)，那么在此独立重复试验中这个事件恰好发生nk次的概率为 。 kkknnppCkP−=1()(
[典型例题] 
一、数和代数式 
1．若Cz∈且122=−+iz，则iz22−−的最小值是[ B ] 
(A) (B)3 (C)4 (D)5 2
2．已知是一个实数，则实数3)(ix+=x[ B ] 
(A)32± (B)33± 
(C)3± (D)23± 
（例2.3.1） 
3．如果整除，则实数)1(+x1223−++axxax=a[ D ] 
(A)0 (B)-1 (C)2 (D) 2或-1 
（例 2.3.5） 
4．设i2321+−=ω，则1的三次方根是[ B ] 
 
 (A)ωω−,,1 (B)1ω 2,,ω
(C)1 (D)2,,ωω−ωω+−1,1,1 
（例2.3.6） 
5．复平面上一等腰三角形的3个顶点按逆时针方向依次为O（原点）、和，1Z2Z221π=∠OZZ，若对应复数1Zi31+−=z1，则对应复数2Z=2z[ D ] 
(A)i31−− (B)i3−1 (C)i+3 (D)i−−3 
（例2.3.7.） 
二、集合、映射和函数 
1．设BA,是两个非空实数集，f是定义在BA,上的函数，是讨论集合 )(BAfΥ
与)(),(BfAf及的关系。 )()(BfAfΥ
2．已知}30{},11{≤≤=<<−=xxBxxA，求))((,,BACBABABARΙΙΙΥ−−−−。 
3．已知a，函数的图像关于原点对称的充分必要条件是[ D ] 0≠dcxbxaxxf+++=23)(
(A) (B) (C)0=b0=c0=d (D)0==db 
(例3．3．6) 
4．设a，且a，那么0,0<<babb722=+=+)(31lnba[ B ] 
(A))ln(ln21ba+ (B))21abln( 
(C))ln(ln31ba+ (D))31abln( 
（例3．3．10） 
三、代数方程和简单的超越方程 
1．设c，若是方程的两个根，求0≠32x21,xx02=++cbxx2112212221,xxxxxxxx+−+，，。（例4．4．4） 31x+
2．一个容器中盛有浓度为0075盐酸500ml，第一次倒出若干，再用水加至500ml，第二次倒出同样多的溶液，再用水加至500ml，这是容器中盐酸浓度为0027。问每次倒出的溶液为多少？（例 4．4．5） 
 
3．指数方程组的解[ A ] ==6321624yxyx
(A)只有一组 (B)只有两组 
(C)有无穷多组 (D)不存在 
（例 4．6．3） 
四、不等式 
1．已知集合}32{<−=xxA，集合}0)1({2<−−+=axaxxB，若AB⊆，求得取值范围。 a
2．解不等式2445≤+−xx。(（例5．5．1） ]4,4−
3．解不等式xx283312−−>。(（例5．7．1） )4,2−
五、数列（微积分）、（数学归纳法） 
1．已知数列{是等差数列，且}na12,23211=++=aaaa。 
（1）求数列{的通项； }na
（2）求数列{前n项和的公式，其中b是任意实数。 }nnba
2．设{是一等差数列，且}na64111032=+++aaaa，求a76a+和。（例6．2．2） 12S
3．记数列}210002n−×{lg的前项和为，问为何值时最大？（）（例6．2．4） nnSnnS19=n
4．设{是一等比数列，且}na48,1253==aa，求a和。（例 6．3．1） 101,a62aa
5．设{是一等比数列，且}na252645342=++aaaaaa，求53aa+的值。（例6．3．2） 
六、排列、组合、二项式定理 
1．5个男生和2个女生拍成一排照相。 
（1）共有多少种排法？（） 77P
（2）男生甲必须站在一端，且两女生必须相邻，有多少种排法？（） )(225522PPP
（3）男生甲必须站在中间，且两女生必须相邻，有多少种排法？（）（例7．1．4） )(445522PPP−
2．100件产品中，只有3件次品，从中任取3件， 
（1）恰有一件次品的取法有多少种？C 29713C
（2）至少有一件次品的取法有多少种？ 3973100CC− 
 
（3）至多有两件次品的取法有多少种？（例7．1．5） 333100CC−
3．某篮球队共10人，其中7人善打锋位，4人善打卫位，现按队员特点派5人出场（左、中、右锋和左、右卫），共有多少种派法？ 3622133723PPCPP+
4．求9)21x+(展开式中所有无理项系数之和。（例7．2．3） 
9997975953931922222CCCCCS++++= 
七、古典概率问题 
1．在100件产品中，只有5件次品。从中任取两件， 
（1）两件都是合格品的概率是多少？2100295CC 
（2）两件都是次品的概率是多少？210025CC 
（3）一件是合格品，一件是次品的概率是多少？210019515CCC(例7．3．2) 
2．办公室有40支笔，其中30支是黑笔，10支是红笔。从中任取4支，其中至少有一支是红笔的概率是多少？440430CC−1（例7．3．4） 
3．甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率分别是0和。 6.5.0
（1）两人都投中的概率是多少？05.06.× 
（2）恰有一人投中的概率是多少？5.04.05.06.0×+× 
（3）至少有一人投中的概率是多少？15.04.0×− 
（例7．3．5） 
[模拟练习] 
书上典型例题与模拟试题。 
1．已知集合},{},2,1,1{2AxxyyBA∈==−=，则BAΙ是[ D ] 
(A){ (B) (C){ (D)空集 }4,2,1}4,1(}1
2．设},2{},,{2RxyyQRxxyyPx∈==∈==，则[ B ] 
(A)Q (B)Q⊂ P=P
(C) (D) }4,2{=PQΙ)}4,2{(=PQΙ 
 
3．函数xxy−−=2)1(log2的定义域是[B ] 
(A) (B) (C) (D)]2,1()2,1(),2(+∞)2,(−∞ 
4．若a是任意实数，且，则[ B ] b,ba>
(A) (B)22ba>ba<2121 
(C) (D)0)lg(>−ba1ab< 
5．已知是奇函数，定义域为)(xf0)=}0,≠∈xRxxx{，又在区间上是增函数，且，则满足的)(xf),0(+∞1(−f0)(>xf的取值范围是[ C ] 
(A) (B)( ),1(+∞)1,0
(C) (D) (),1()0,1(+∞−Υ),1()1,+∞−−∞Υ 
6．已知函数的反函数为，则的解集是[ B ] 12)(+=xxf)(1xf−0)(1<−xf
(A) (B)( (C)()2,(−∞)2,1),2+∞ (D)()1,−∞ 
7．已知复数，复数iz+=123−+=zzω，那么ω的三角形式为[ D ] 
(A))4sin4(cos22ππi+ (B) )43sin43(cosππi+ 22
(C) )45sin45(cos22ππi+ (D) )47sin47(cos22ππi+ 
8．已知复数)21,,(≥∈+=xRyxyixz满足xz=−1，那么复数在复平面上对应点的轨迹是[D ] z),(yx
(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 
9．设复数iziz+=−=3,121，则21zzz=在复平面内对应的点位于第4 象限。 
10．函数)0(cos≤≤−=xxyπ的反函数为[ B ] 
(A) (B) )11(arccos≤≤−=xxy)11(arccos≤≤−−xx=y 
(C) )11(arccos≤≤−+−=xxyπ (D) )11(arccos≤≤−−=xxyπ 
11．从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，不同的选派方法有[ D ] 
 
 (A)C种 (B) P 种 5551057PP5551057PC
(C) 种 (D) C种 57510PC51057P
12．某科技小组有6名同学，先从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生人数为[ A ] 
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 
13．学校要选派4名爱好摄影的同学中的3名分别参加校外摄影小组的3期培训（每期只派1名），甲、乙两位同学都不能参加第1期培训，不同的选派方式共有[ D ] 
(A)种 (B)8种 (C)10种 (D)12种 6
14．设，则等于[ A ] 34)1(6)1(4)1(234−+−+−+−=xxxxSS
(A) (B)+x (C)(− (D)+x 4x142)2x44
15．若nxx)(+的展开式中第三项的系数为36，则正整数n的值是 9 . 
16．设的展开式中，奇数项的nx)21(+=nSna二项式系数之和为，数列的前项和记为，则na}{nanS∞→nlim[ B ] 
(A) (B)021 (C)1 (D)2 
17．等比数列{的公比为，则“”是“对于任意正整数，都有” }naq1,01>>qannnaa>+1
的[ A ] 
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 
(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 
18．在等差数列{中，若前9项的和是90，则的值是}na5a 10 。 
19．数列{中，是前n项和。当时，}nanSa,11=2≥nnnSa3=，则3lim11−++∞→nnnSS的值是[A ] 
(A)31− (B)2− (C)1 (D)54− 
20．在各项都是正数的等比数列{中，公比}na1≠q，并且成等差数列，则公比的值为532,,aaaq215−。 
21．如果41)4tan(,52)tan(=−=+πββα，那么=+)4tan(πα223。 
 
22．某企业2002年12月份的产值是这一年1月分产值的p倍，则该企业2002年年度产值的月平均增长率为[ D ] 
(A)1−pp (B)111−p (C)p11 (D) 1−11p